利用单调性定义证明函数f(x)＝x+4x在[1，2]上的单调性并求其最值．

Question

利用单调性定义证明函数f(x)＝x+(4)/(x)在[1，2]上的单调性并求其最值．

Answer 1

设1≤x₁＜x₂≤2，
则f(x1)−f(x2)＝x1+(4)/(x1)−x2−(4)/(x2)＝x1−x2+(4(x2−x1))/(x1x2)

＝(x1−x2)(1−(4)/(x1x2))＝(x1−x2)(x1x2−4)/(x1x2)

∵

1≤x1＜x2≤2

，∴

x1−x2＜0，x1x2−4＜0

，x₁x₂＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f(x)＝x+(4)/(x)在[1，2]上为减函数
∴当x=2时，f（x）取得最小值4，当x=1时，f（x）取得最大值5．