已知函数f（x）=ln（3-x）+ax+1．（1）若函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）在[0，2]上的最大值．

Question

已知函数f（x）=ln（3-x）+ax+1．
（1）若函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[0，2]上的最大值．

Answer 1

f′（x）=(1)/(x−3)+a
（1）只要在x∈[0，2]上f'（x）≥0恒成立，⇔a≥(1)/(3−x)
而(1)/(3−x)∈[(1)/(3)，1]，∴a≥1                            （5分）
（2）∵当x∈[0，2]时，(1)/(x−3)∈[-1，-(1)/(3)]
∴①当a≤(1)/(3)时，f′（x）≤0，这时f（x）在[0，2]上单调递减，
f（x）≤f（0）=1+ln3（7分）
②当(1)/(3)＜a＜1时，令f′（x）=0，可解得x=3-(1)/(a)，
∵当x∈[0，3-(1)/(a)]时，有f′（x）＞0
当x∈[3-(1)/(a)，2]时，有f′（x）＜0，
∴x=3-(1)/(a)是f（x）在[0，2]上的唯一的极大值，
则f（x）≤f（3-(1)/(a)）=3a-lna     （10分）
③当a≥1时，f'（x）≥0，这时f（x）在[0，2]上单调递增，
f（x）≤f（2）=2a+1                  （12分）
综上所述：f(x)max＝

1+ln3

3a−lna

2a+1

(a≤(1)/(3))

((1)/(3)＜a＜1)

(a≥1)

（13分）