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设函数F(X)=1/2-1/2SIN2X(1)求函数最小正周期(2)设函数G(x)对任意X属于R,有G(x+π/2)=G(x)且当X属于0,π/2]时G(x)=1/2-F(x)求G(x)在-π,0上的解析式
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设函数F(X)=1/2-1/2SIN2X(1)求函数最小正周期(2)设函数G(x)对任意X属于R,有G(x+π/2)=G(x)且当X属于【0,π/2]时G(x)=1/2-F(x)求G(x)在【-π,0】上的解析式
▼优质解答
答案和解析
(1):
F(X)=1/2-1/2sin2x
=-1/2sin2x+1/2 (化成F(x)=Asin(wx+φ)+t的形式,这里φ=0,w=2)
∴T=2π/|w|=2π/2=π
(2):
当x∈【0,π/2】时
G(x)=1/2-F(x)=1/2-1/2+1/2sin2x
=1/2sin2x
=1/2(2sinxcosx) (二倍角公式)
=sinxcosx
∵x∈R时,均有G(x+π/2)=G(x)
∴①:x∈【-π,-π/2】时
0≤x+π≤π/2
∴G(x+π)=1/2-F(x+π) (这里x+π∈【0,π/2】,故用x+π代替x)
=1/2-1/2+sin(x+π)cos(x+π)
=-sinxcosx (三角函数的诱导公式)
②:当x∈【-π/2,0】时
0≤x+π/2≤π/2
∴G(x+π/2)=1/2-F(x+π/2)
=1/2-1/2+sin(x+π/2)cos(x+π/2)
=-sinxcosx
综上所述,当x∈【-π,0】时
G(x)=-sinxcosx
友情提醒:把握好三角函数的一般形式y=Asin(wx+φ)+t,对于第二问,要将【-π,0】中的x加上一个数使其在区间【0,π/2】上,这样才能带入G(x)=1/2-F(x).
学习愉快!
F(X)=1/2-1/2sin2x
=-1/2sin2x+1/2 (化成F(x)=Asin(wx+φ)+t的形式,这里φ=0,w=2)
∴T=2π/|w|=2π/2=π
(2):
当x∈【0,π/2】时
G(x)=1/2-F(x)=1/2-1/2+1/2sin2x
=1/2sin2x
=1/2(2sinxcosx) (二倍角公式)
=sinxcosx
∵x∈R时,均有G(x+π/2)=G(x)
∴①:x∈【-π,-π/2】时
0≤x+π≤π/2
∴G(x+π)=1/2-F(x+π) (这里x+π∈【0,π/2】,故用x+π代替x)
=1/2-1/2+sin(x+π)cos(x+π)
=-sinxcosx (三角函数的诱导公式)
②:当x∈【-π/2,0】时
0≤x+π/2≤π/2
∴G(x+π/2)=1/2-F(x+π/2)
=1/2-1/2+sin(x+π/2)cos(x+π/2)
=-sinxcosx
综上所述,当x∈【-π,0】时
G(x)=-sinxcosx
友情提醒:把握好三角函数的一般形式y=Asin(wx+φ)+t,对于第二问,要将【-π,0】中的x加上一个数使其在区间【0,π/2】上,这样才能带入G(x)=1/2-F(x).
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