设a是实数,函数f(x)=e^2x+|e^x-a|(x属于R）（1）当a小于等于0时,求满足不等式f(x)>a^2的x的取值范围（2）求函数f(x)的值域（用a表示）

Question

设a是实数,函数f(x)=e^2x+|e^x-a|(x属于R）
（1）当a小于等于0时,求满足不等式f(x)>a^2的x的取值范围
（2）求函数f(x)的值域（用a表示）

Answer 1

(1)a＜0,e^2x+|e^x-a|=e^2x+e^x-a＞a^2
则（e^x-a）（e^x+a+1）＞0,
而（e^x-a）＞0,则e^x＞-a-1,
于是x＞ln[-（a+1）]；
(2)设e^x=t,则t＞0,y=f（x）=t^2+|t-a|,
当a≤0时,y=f（x）=t^2+t-a在t＞0时单调增,则f（x）＞f（0）=-a；
当0≤a≤1/2时,y=f(x)=t^2+t-a≥f（a）=a^2；
当a≥1/2时,y＝f(x)＝t^2+t−a≥f(1/2)＝a−1/4 ；
故当a≤0时,f（x）的值域为（-a,+∞）；
当0≤a≤1/2时,f（x）的值域为（a2,+∞）；
当a≥1/2 时,f（x）的值域为(a-1/4 ,+∞)．