已知函数g（x）=mx2-2mx+1+n，（n≥0）在[1，2]上有最大值1和最小值0．设f（x）=g(x)x．（其中e为自然对数的底数）（1）求m，n的值；（2）若不等式f（log2x）-2klog2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k

Question

已知函数g（x）=mx²-2mx+1+n，（n≥0）在[1，2]上有最大值1和最小值0．设f（x）=(g(x))/(x)．（其中e为自然对数的底数）
（1）求m，n的值；
（2）若不等式f（log₂x）-2klog₂x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围；
（3）若方程f（|e^x-1|）+(2k)/(|ex−1|)-3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）配方可得g（x）=m（x-1）²+1+n-m，
当m＞0时，g（x）在[1，2]上是增函数，
由题意可得

g(1)＝0

g(2)＝1

，即

1+n−m＝0

m+1+n−m＝1

，解得

m＝1

n＝0

；
当m=0时，g（x）=1+n，无最大值和最小值，不合题意；
当m＜0时，g（x）在[1，2]上是减函数，
由题意可得

g(1)＝1

g(2)＝0

，即

1+n−m＝1

m+1+n−m＝0

，解得

m＝−1

n＝−1

，
∵n≥0，故应舍去
综上可得m，n的值分别为1，0
（2）由（1）知f(x)＝x+(1)/(x)−2，
∴f（log₂x）-2klog₂x≥0在x∈[2，4]上有解等价于log2x+(1)/(log2x)−2≥2klog2x在x∈[2，4]上有解
即2k≤(1)/((log2x)2)−(2)/(log2x)+1在x∈[2，4]上有解．
令t＝(1)/(log2x)则2k≤t²-2t+1，∵x∈[2，4]∴t∈[(1)/(2)，1]．
记φ（t）=t²-2t+1，∵(1)/(2)≤t≤1，∴φ(t)max＝(1)/(4)，
∴k的取值范围为(−∞，(1)/(8)]．
（3）原方程可化为|e^x-1|²-（3k+2）|e^x-1|+（2k+1）=0
令|e^x-1|=t，则t∈（0，+∞），
由题意知t²-（3k+2）t+2k+1=0有两个不同的实数解t₁，t₂，其中0＜t₁＜1，t₂＞1或0＜t₁＜1，t₂=1．
记h（t）=t²-（3k+2）t+2k+1，则

2k+1＞0

h(1)＝−k＜0

或

2k+1＞0

h(1)＝−k＜0

0＜(3k+2)/(2)＜1

解得k＞0，∴实数k的取值范围是（0，+∞）