已知函数f（x）=x4+ax-lnx-32，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=12x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．

Question

已知函数f（x）=(x)/(4)+(a)/(x)-lnx-(3)/(2)，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=(1)/(2)x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=(x)/(4)+(a)/(x)-lnx-(3)/(2)，
∴f′（x）=(1)/(4)-(a)/(x2)-(1)/(x)，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=(1)/(2)x．
∴f′（1）=(1)/(4)-a-1=-2，
解得：a=(5)/(4)，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=(x)/(4)+(5)/(4x)-lnx-(3)/(2)，f′（x）=(1)/(4)-(5)/(4x2)-(1)/(x)=(x2−4x−5)/(4x2)（x＞0），
令f′（x）=0，
解得x=5，或x=-1（舍），
∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；
单调递减区间为（0，5）；
当x=5时，函数取极小值-ln5．