（理科）已知函数f（x）=xlnx．（1）若存在x∈[1e，e]，使不等式2f（x）≥-x2+ax-3成立，求实数a的取值范围；（2）设0＜a＜b，证明：f(a)+f(b)−2f(a+b2)＞0．

Question

（理科）已知函数f（x）=xlnx．
（1）若存在x∈[(1)/(e)，e]，使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求实数a的取值范围；
（2）设0＜a＜b，证明：f(a)+f(b)−2f((a+b)/(2))＞0．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=xlnx，
∴2f（x）≥-x²+ax-3可变形为a≤(2f(x)+x2+3)/(x)＝2lnx+x+(3)/(x)，
∴存在x∈[(1)/(e)，e]，使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，即a≤g（x）_max，
令g(x)＝2lnx+x+(3)/(x)，
∴g′(x)＝(2)/(x)+1−(3)/(x2)＝((x−1)(x+3))/(x2)，
∴当x∈((1)/(e)，1)时，g'（x）＜0，当x∈（1，e）时，g'（x）＞0，
∴g（x）在[(1)/(e)，1)上单调递减，g（x）在（1，e]上单调递增，
∴g（x）的最大值只能在x＝(1)/(e)或x=e处取得，
∵g((1)/(e))＝3e+(1)/(e)−2，g(e)＝e+2+(1)/(e)，
∴g((1)/(e))＞g(e)，
∴g(x)max＝3e+(1)/(e)−2，
∴a≤3e+(1)/(e)−2；
（2）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
令F(x)＝f(a)+f(x)−2f((a+x)/(2))，
∴F′(x)＝f′(x)−f′((a+x)/(2))＝lnx−ln(a+x)/(2)，
当0＜x＜a时，F'（x）＜0，当a＜x时，F'（x）＞0，
∴F（x）在（0，a）上为减函数，F（x）在（a，+∞）上为增函数，
∴当x=a时，F（x）_min=F（a）=0，
∵b＞a，
∴F（b）＞F（a），
∴f(a)+f(b)−2f((a+b)/(2))＞0．