（2014•威海一模）设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上

Question

（2014•威海一模）设函数f（x）=ae^x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x²+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）若对∀x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） f'（x）=ae^x（x+2），g'（x）=2x+b----------------------（1分）
由题意，两函数在x=0处有相同的切线．
∴f'（0）=2a，g'（0）=b，
∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，
∴f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．----------------------（3分）
（Ⅱ） f'（x）=2e^x（x+2），由f'（x）＞0得x＞-2，由f'（x）＜0得x＜-2，
∴f（x）在（-2，+∞）单调递增，在（-∞，-2）单调递减．----------------------（4分）
∵t＞-3，∴t+1＞-2
①当-3＜t＜-2时，f（x）在[t，-2]单调递减，[-2，t+1]单调递增，
∴f(x)min＝f(−2)＝−2e−2．----------------------（5分）
②当t≥-2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴f(x)min＝f(t)＝2et(t+1)；
∴f(x)＝

−2e−2_  

&2et(t+1)  (t≥−2)----------------------（6分）
（Ⅲ）令F（x）=kf（x）-g（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，
由题意当x≥-2，F（x）_min≥0----------------------（7分）
∵∀x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，∴F（0）=2k-2≥0，∴k≥1----------------------（8分）
F'（x）=2ke^x（x+1）+2ke^x-2x-4=2（x+2）（ke^x-1），----------------------（9分）
∵x≥-2，由F'（x）＞0得ex＞(1)/(k)，∴x＞ln(1)/(k)；由F'（x）＜0得x＜ln(1)/(k)
∴F（x）在(−∞，ln(1)/(k)]单调递减，在[ln(1)/(k)，+∞)单调递增----------------------（10分）
①当ln(1)/(k)＜−2，即k＞e²时，F（x）在[-2，+∞）单调递增，F(x)min＝F(−2)＝−2ke−2+2＝(2)/(e2)(e2−k)＜0，不满足F（x）_min≥0．----------------（11分）
②当ln(1)/(k)＝−2，即k=e²时，由①知，F(x)min＝F(−2)＝(2)/(e2)(e2−k)＝0，满足F（x）_min≥0．-------（12分）
③当ln(1)/(k)＞−2，即1≤k＜e²时，F（x）在

作业帮用户 2017-11-01