如图，半径是1且圆心角为120°的扇形中，点A、B是扇形的两个端点，线段PQ是一条平行于弦AB的动弦，以PQ为一边作该扇形的一个内接矩形MNQP，将矩形MNQP面积记为S．试确定当P点在什么位置时

Question

如图，半径是1且圆心角为120°的扇形中，点A、B是扇形的两个端点，线段PQ是一条平行于弦AB的动弦，以PQ为一边作该扇形的一个内接矩形MNQP，将矩形MNQP面积记为S．试确定当P点在什么位置时，S取得最大，最大值是多少？

Answer 1

连接OP，设∠AOP=θ，则θ∈（0°，120°），
过点O作OH⊥MN于H，则H是MN的中点，（2分）
在△OMP中，由正弦定理有(MP)/(sinθ)=(MO)/(sin(60°-θ))=(1)/(sin120°)
所以MP=(2)/(√(3))sinθ①（5分）
OM=(2)/(√(3))sin(60°-θ)，
所以在直角△OMH中，HM=OMsin60°=sin（60°-θ）
所以MN=2HM=2sin（60°-θ）②（8分）
所以由①②得：S=(4)/(√(3))sinθsin(60°-θ)=2sinθcosθ-(2)/(√(3))sin2θ（10分）
=sin2θ-(√(3))/(3)(1-cos2θ)=sin2θ+(√(3))/(3)cos2θ-(√(3))/(3)
=(2√(3))/(3)sin(2θ+30°)-

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问题解析

要用三角函数解决问题，首先构造三角形即连接op，然后设出角∠AOP=θ，并过O作OH⊥MN于H，能推出H是MN的中点．然后在△OPM中，利用正弦定理得到MP，而MN=2HM，进而得到MN，利用三角形面积法求出S．利用三角函数变换公式得到正弦函数，最后求出正弦函数最大值即可．

名师点评

本题考点：

正弦函数的单调性；根据实际问题选择函数类型；余弦定理．

考点点评：

此题考查正弦函数最值问题，学生的构造能力及三角函数的变换能力，解决实际问题的能力．

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(MP)/(sinθ)MPMPMPsinθsinθsinθ=(MO)/(sin(60°-θ))MOMOMOsin(60°-θ)sin(60°-θ)sin(60°-θ)=(1)/(sin120°)111sin120°sin120°sin120°
所以MP=(2)/(√(3))sinθ①（5分）
OM=(2)/(√(3))sin(60°-θ)，
所以在直角△OMH中，HM=OMsin60°=sin（60°-θ）
所以MN=2HM=2sin（60°-θ）②（8分）
所以由①②得：S=(4)/(√(3))sinθsin(60°-θ)=2sinθcosθ-(2)/(√(3))sin2θ（10分）
=sin2θ-(√(3))/(3)(1-cos2θ)=sin2θ+(√(3))/(3)cos2θ-(√(3))/(3)
=(2√(3))/(3)sin(2θ+30°)-

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问题解析

要用三角函数解决问题，首先构造三角形即连接op，然后设出角∠AOP=θ，并过O作OH⊥MN于H，能推出H是MN的中点．然后在△OPM中，利用正弦定理得到MP，而MN=2HM，进而得到MN，利用三角形面积法求出S．利用三角函数变换公式得到正弦函数，最后求出正弦函数最大值即可．

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本题考点：

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MP=(2)/(√(3))222√(3)√(3)√(3)

3

33sinθ①（5分）
OM=(2)/(√(3))sin(60°-θ)，
所以在直角△OMH中，HM=OMsin60°=sin（60°-θ）
所以MN=2HM=2sin（60°-θ）②（8分）
所以由①②得：S=(4)/(√(3))sinθsin(60°-θ)=2sinθcosθ-(2)/(√(3))sin2θ（10分）
=sin2θ-(√(3))/(3)(1-cos2θ)=sin2θ+(√(3))/(3)cos2θ-(√(3))/(3)
=(2√(3))/(3)sin(2θ+30°)-

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要用三角函数解决问题，首先构造三角形即连接op，然后设出角∠AOP=θ，并过O作OH⊥MN于H，能推出H是MN的中点．然后在△OPM中，利用正弦定理得到MP，而MN=2HM，进而得到MN，利用三角形面积法求出S．利用三角函数变换公式得到正弦函数，最后求出正弦函数最大值即可．

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OM=(2)/(√(3))222√(3)√(3)√(3)

3

33sin(60°-θ)，
所以在直角△OMH中，HM=OMsin60°=sin（60°-θ）
所以MN=2HM=2sin（60°-θ）②（8分）
所以由①②得：S=(4)/(√(3))sinθsin(60°-θ)=2sinθcosθ-(2)/(√(3))sin2θ（10分）
=sin2θ-(√(3))/(3)(1-cos2θ)=sin2θ+(√(3))/(3)cos2θ-(√(3))/(3)
=(2√(3))/(3)sin(2θ+30°)-

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要用三角函数解决问题，首先构造三角形即连接op，然后设出角∠AOP=θ，并过O作OH⊥MN于H，能推出H是MN的中点．然后在△OPM中，利用正弦定理得到MP，而MN=2HM，进而得到MN，利用三角形面积法求出S．利用三角函数变换公式得到正弦函数，最后求出正弦函数最大值即可．

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S=(4)/(√(3))444√(3)√(3)√(3)

3

33sinθsin(60°-θ)=2sinθcosθ-(2)/(√(3))222√(3)√(3)√(3)

3

33sin2θ（10分）
=sin2θ-(√(3))/(3)(1-cos2θ)=sin2θ+(√(3))/(3)cos2θ-(√(3))/(3)
=(2√(3))/(3)sin(2θ+30°)-

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2θ（10分）
=sin2θ-(√(3))/(3)(1-cos2θ)=sin2θ+(√(3))/(3)cos2θ-(√(3))/(3)
=(2√(3))/(3)sin(2θ+30°)-

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sin2θ-(√(3))/(3)√(3)√(3)√(3)

3

33333(1-cos2θ)=sin2θ+(√(3))/(3)√(3)√(3)√(3)

3

33333cos2θ-(√(3))/(3)√(3)√(3)√(3)

3

33333
=(2√(3))/(3)sin(2θ+30°)-

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(2√(3))/(3)2√(3)2√(3)2√(3)

3

33333sin(2θ+30°)-

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