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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动;点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动

题目详情
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动;点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QK⊥AB,交折线BC-CA于点G.点P,Q同时出发,当点P绕行一周回到点D时停止运动,点Q也随之停止.设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)D,F两点间的距离是______;
(2)射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分?若能,求出t的值;若不能,说明理由;
(3)当点P运动到折线EF-FC上,且点P又恰好落在射线QK上时,求t的值;
(4)连接PG,当PG∥AB时,请直接写出t的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,
∵D,F是AC,BC的中点,
∴DF为△ABC的中位线,
∴DF=
1
2
AB=25
故答案为:25.
(2)能.
如图1,连接DF,过点F作FH⊥AB于点H,
∵D,F是AC,BC的中点,
∴DE∥BC,EF∥AC,四边形CDEF为矩形,
∴QK过DF的中点O时,QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分
此时QH=OF=12.5.由BF=20,△HBF∽△CBA,得HB=16.
故t=
QH+HB
4
=
12.5+16
4
=7
1
8

(3)①当点P在EF上(2
6
7
≤t≤5)时,
如图2,QB=4t,DE+EP=7t,
由△PQE∽△BCA,得
7t−20
50
25−4t
30

∴t=4
21
41

②当点P在FC上(5≤t≤7
6
7
)时,
如图3,已知QB=4t,从而PB=
QB
cos∠B
=
4t
4
5
=5t,
由PF=7t-35,BF=20,得5t=7t-35+20.
解得t=7
1
2


(4)如图4,t=1
2
3
;如图5,t=7
39
43

(注:判断PG∥AB可分为以下几种情形:当0<t≤2
6
7
时,点P下行,点G上行,可知其中存在PG∥AB的时刻,
如图4;此后,点G继续上行到点F时,t=4,而点P却在下行到点E再沿EF上行,发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB;5≤t≤7
6
7
当时,点P,G均在FC上,也不存在PG∥AB;由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行,所以在7
6
7
<t<8中存在PG∥AB的时刻,如图5当8≤t≤10时,点P,G均在CD上,不存在PG∥AB)
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