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在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度向右平移,又P、Q两点同时出发.(1)连接AQ,当
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在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(0,3).点P从点A出发,以每秒1个单位的速度向右平移,点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度向右平移,又P、Q两点同时出发.

(1)连接AQ,当△ABQ是直角三角形时,求点Q的坐标;
(2)当P、Q运动到某个位置时,如果沿着直线AQ翻折,点P恰好落在线段AB上,求这时∠AQP的度数;
(3)过点A作AC⊥AB,AC交射线PQ于点C,连接BC,D是BC的中点.在点P、Q的运动过程中,是否存在某时刻,使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形,若存在,试求出这时tan∠ABC的值;若不存在,试说明理由.

(1)连接AQ,当△ABQ是直角三角形时,求点Q的坐标;
(2)当P、Q运动到某个位置时,如果沿着直线AQ翻折,点P恰好落在线段AB上,求这时∠AQP的度数;
(3)过点A作AC⊥AB,AC交射线PQ于点C,连接BC,D是BC的中点.在点P、Q的运动过程中,是否存在某时刻,使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形,若存在,试求出这时tan∠ABC的值;若不存在,试说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据题意,可得:A(4,0)、B(0,3),AB=5.
ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ,
∴
=
.解得BQ=
;
ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4,
∴Q(
,3)或Q(4,3).(4分)
(2)令点P翻折后落在线段AB上的点E处,
则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP;
又BQ∥OP,
∴∠PAQ=∠BQA,∴∠EAQ=∠BQA,
即AB=QB=5.
∴AP=
BQ=
,
∴AE=AP=
=
AB,即点E是AB的中点.
过点E作EF⊥BQ,垂足为点F,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,
则EF=
,PH=
,∴EF=PH.
又EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°,
∴△EQF≌△PQH
∴∠EQF=∠PQH,从而∠PQE=90°.
∴∠AQP=∠AQE=45°.(8分)
(3)当点C在线段PQ上时,延长BQ与AC的延长线交于点F,
∵AC⊥AB,
∴△AOB∽△FHA.
∴
=
即
=
,
∴FA=
.
∵DQ∥AC,DQ=AC,且D为BC中点,
∴FC=2DQ=2AC.
∴AC=
.
在Rt△BAC中,tan∠ABC=
;
当点C在PQ的延长线上时,记BQ与AC的交点为F,记AD与BQ的交点为G,
∵CQ∥AD,CQ=AD且D为BC中点,
∴AD=CQ=2DG.
∴CQ=2AG=2PQ.
即:CQ:QP=2:1
又∵BQ∥OP
∴CF:AF=CQ:QP=2:1
∴FC=2AF,
又∵FA=
,
∴FC=
,
∴AC=
.
在Rt△BAC中,tan∠ABC=
.(12分)

ⅰ)当∠BAQ=90°时,△AOB∽△BAQ,
∴
BQ |
AB |
AB |
AO |
25 |
4 |
ⅱ)当∠BQA=90°时,BQ=OA=4,
∴Q(
25 |
4 |
(2)令点P翻折后落在线段AB上的点E处,
则∠EAQ=∠PAQ,∠EQA=∠PQA,AE=AP,QE=QP;
又BQ∥OP,
∴∠PAQ=∠BQA,∴∠EAQ=∠BQA,

即AB=QB=5.
∴AP=
1 |
2 |
5 |
2 |
∴AE=AP=
5 |
2 |
1 |
2 |
过点E作EF⊥BQ,垂足为点F,过点Q作QH⊥OP,垂足为点H,
则EF=
3 |
2 |
3 |
2 |
又EQ=PQ,∠EFQ=∠PHQ=90°,
∴△EQF≌△PQH
∴∠EQF=∠PQH,从而∠PQE=90°.
∴∠AQP=∠AQE=45°.(8分)
(3)当点C在线段PQ上时,延长BQ与AC的延长线交于点F,

∵AC⊥AB,
∴△AOB∽△FHA.
∴
AB |
FA |
AO |
FH |
5 |
FA |
4 |
3 |
∴FA=
15 |
4 |
∵DQ∥AC,DQ=AC,且D为BC中点,
∴FC=2DQ=2AC.
∴AC=
5 |
4 |
在Rt△BAC中,tan∠ABC=
1 |
4 |

当点C在PQ的延长线上时,记BQ与AC的交点为F,记AD与BQ的交点为G,
∵CQ∥AD,CQ=AD且D为BC中点,
∴AD=CQ=2DG.
∴CQ=2AG=2PQ.
即:CQ:QP=2:1
又∵BQ∥OP
∴CF:AF=CQ:QP=2:1
∴FC=2AF,
又∵FA=
15 |
4 |
∴FC=
15 |
2 |
∴AC=
45 |
4 |
在Rt△BAC中,tan∠ABC=
9 |
4 |
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