在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m），（Ⅰ）求m2+

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： ，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m），
（Ⅰ）求m ² +k ² 的最小值；
（Ⅱ）若|OG| ² =|OD|·|OE|，
（ⅰ）求证：直线l过定点；
（ⅱ）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）由题意：设直线l：y=kx+n(n≠0)，
由 ，消y得： ，
设A 、B ，AB的中点E ，
则由韦达定理得： = ，
即 ， ，
所以中点E的坐标为E ，
因为O、E、D三点在同一直线上，所以k _OE =k _OD ，
即 ，解得 ，
所以m ² +k ² = ，当且仅当k=1时取等号，
即m ² +k ² 的最小值为2。
（Ⅱ）（ⅰ）证明：由题意知：n＞0，因为直线OD的方程为 ，
所以由 得交点G的纵坐标为 ，
又因为 ， ，且|OG| ² =|OD|·|OE|，
所以 ，
又由（Ⅰ）知： ，所以解得k=n，
所以直线l的方程为l：y=kx+k，即有l：y=k（x+1），
令x=-1得，y=0，与实数k无关，所以直线l过定点(-1，0)；
（ⅱ）假设点B，G关于x轴对称，则有△ABG的外接圆的圆心在x轴上，
又在线段AB的中垂线上，由（ⅰ）知点G ，
所以点B ，
又因为直线l过定点(-1，0)，
所以直线l的斜率为 ，
又因为 ，所以解得 或6，
又因为 ，所以m ² =6舍去，即m ² =1，
此时k=1，m=1，E ，
AB的中垂线为2x+2y+1=0，
圆心坐标为 ，G ，圆半径为 ，
圆的方程为 ；
综上所述，点B，G关于x轴对称，此时△ABG的外接圆的方程为 。