（2013•松江区模拟）已知：点A、B都在半径为9的圆O上，P是射线OA上一点，以PB为半径的圆P与圆O相交的另一个交点为C，直线OB与圆P相交的另一个交点为D，cos∠AOB＝23（1）求：公共弦BC的长度

Question

（2013•松江区模拟）已知：点A、B都在半径为9的圆O上，P是射线OA上一点，以PB为半径的圆P与圆O相交的另一个交点为C，直线OB与圆P相交的另一个交点为D，cos∠AOB＝(2)/(3)
（1）求：公共弦BC的长度；
（2）如图，当点D在线段OB的延长线上时，设AP=x，BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果直线PD与射线CB相交于点E，且△BDE与△BPE相似，求线段AP的长．

Answer 1

（1）∵圆O与圆P相交于点B、C，
∴OP⊥BC，垂足为点H，且BH=CH，
在Rt△BOH 中，
∵OB=9，cos∠AOB=(2)/(3)=(OH)/(OB)，
∴OH=6，
∴BH=3√(5)，
∴BC=6√(5)；

（2）如图1，作PM⊥BD，垂足为点M．
由垂径定理，得BM=DM=(1)/(2)y，
∴cos∠AOB=(OM)/(OP)=(2)/(3)，即((1)/(2)y+9)/(x+9)=(2)/(3)，
∴y关于x的函数解析式为y=(4)/(3)x-6，
定义域为x＞(9)/(2)．

（3）（i）如图2，当点P在OA的延长线上时，
则△DBE∽△BPE，
∴∠DBE=∠BPE，
∵∠DBE=∠OBH，∠OPM=∠OBH，
∴∠BPE=∠OPM，
而∠BPM=∠DPM，
∴∠OPB=∠BPM=∠DPM，
∴BM=BH，即BD=BC，
∴(4)/(3)x-6=6√(5)，
解得x=(9)/(2)√(5)+(9)/(2)，即AP=(9)/(2)√(5)+(9)/(2)；
（ii）如图3，当点P在线段OA上时，
作PN⊥BD，垂足为点N．
则△BDE∽△PBE，
∴∠BDE=∠PBE，
∵PD=PB，
∴∠BDP=∠DBP．
∴∠PBE=∠DBP．
∴PH=PN．
∴BD=BC． 
∵BN=DN，∴ON=9-(1)/(2)BD，
∴cos∠AOB=(9−(1)/(2)DB)/(9−AP)=(2)/(3)，
整理，得BD=(4)/(3)AP+6，
∴(4)/(3)AP+6=6√(5)，
解得AP=(9)/(2)√(5)-(9)/(2)，
综上所述，线段AP的长为(9)/(2)√(5)+(9)/(2)或(9)/(2)√(5)-(9)/(2)．