一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆

Question

一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与A在同一竖直平面内．开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图复1所示，已知，绳长为l，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大张力为T_d，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断，求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）
注：质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度a_n，可以证明，a_n=v²/R，v为质点在该点时速度的大小，R为轨道曲线在该点的“曲率半径”，所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径．如图2中曲线在R点的曲率半径为R_A，在B点的曲率半径为R_B．

Answer 1

（1）珠子运动的轨迹
建立如图所示的坐标系，原点O在过A点的竖直线与细杆相交处，x轴沿细杆向右，y轴沿OA向下．当珠子运动到N点处且绳子未断时，小环在B处，BN垂直于x轴，所以珠子的坐标为：
x=PN，y=BN
由△APN知：（AP）²+（PN）²=（AN）²
即有（h-y）²+x²=（l-y）²，得：x²=-2（l-h）y+（l²-h²）… ①
这是一个以y轴为对称轴，顶点位于y=(1)/(2)(l+h)处，焦点与顶点的距离为(1)/(2)(l−h)的抛物线，如图1所示，图中的H=(1)/(2)(l+h)，A为焦点．
（2）珠子在N点的运动方程

因为忽略绳子的质量，所以可把与珠子接触的那一小段绳子看做是珠子的一部分，则珠子受的力有三个，一是重力mg；另外两个是两绳子对珠子的拉力，它们分别沿NB和NA方向，这两个拉力大小相等，皆用T表示，则它们的合力的大小为：
F=2Tcosα… ②
α为N点两边绳子之间夹角的一半，F沿∠ANB的角平分线方向．
因为AN是焦点至N的连线，BN平行于y轴，根据解析几何所述的抛物线性质可知，N点的法线是∠ANB的角平分线．故合力F的方向与N点的法线一致．
由以上的论证．再根据牛顿定律和题中的注，珠子在N点的运动方程（沿法线方向）应为：
2Tcosα-mgcosα=m(v2)/(R)…③
2Tcosα=mgcosα+m(v2)/(R)…④
式中R是N点处轨道曲线的曲率半径；v为珠子在N处时速度的大小．根据机械能守恒定律可得：
v=√(2gy)… ⑤
（3）求曲率半径R
当绳子断裂时T=T_d，由④式可见，如果我们能另想其他办法求得曲率半径R与y的关系，则就可能由（4）、⑤两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标y．现提出如下一种办法．做一条与小珠轨迹对于x轴呈对称状态的抛物线，如图2所示．由此很容易想到这是一个从高H处平抛物体的轨迹．平抛运动是我们熟悉的，我们不仅知道其轨迹是抛物线，而且知道其受力情况及详细的运动学方程．这样我们可不必通过轨道方程而是运用力学原理分析其运动过程即可求出与N对称的N′点处抛物线的曲率半径R与y的关系，也就是N处抛物线的曲率半径R与y的关系．
设从抛出至落地的时间为t，则有：
v0t＝√(l2−h2)…⑥
由此解得：
v0＝√(g(l−h))…⑦
设物体在N′处的速度为v′，由机械能守恒定律可得：
v′2＝

v

2 0

+2g(H−BN′)…⑧
物体在N′处法线方向的运动方程为：
mgcosα＝m(v′2)/(R)…⑨
式中R即为N′处抛物线的曲率半径，从⑦⑧⑨式及H=(1)/(2)(l+h)，可求得：
R=(2(l−BN′))/(cosα)
这也等于N点抛物线的曲率半径，BN=BN′=y，故得：
R＝(2(l−y))/(cosα)…⑩
（4）求绳被拉断时小珠的位置和速度的大小
把⑤式和⑩式代入④式，可求得绳子的张力为：
T＝(mgl)/(2(l−y))
当T=T_d时绳子被拉断，设此时珠子位置的坐标为（x_d，y_d），由式得：
yd＝l(1−(mg)/(2Td))
代入（1）式，得：
xd＝√(mgl((l−h)/(Td))−(l−h)2)
绳子断开时珠子速度的大小为：
vd＝√(2gyd)＝√(2gl(1−(mg)/(2Td)))
答：细绳被拉断时珠子的位置坐标为（√(mgl((l−h)/(Td))−(l−h)2)，l(1−(mg)/(2Td))），速度的大小为√(2gl(1−(mg)/(2Td)))．