（2013•金华模拟）已知：图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．操作：将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt

Question

（2013•金华模拟）已知：图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．
操作：将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′恰好与⊙O相切（如图2）．
思考：
（1）求直角三角尺边框的宽．
（2）求证：∠BB′C′+∠CC′B′=75°．
（3）求边B′C′的长．

Answer 1

（1）过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，
∵AC∥A′C′，
∴AC⊥OD，
∵A′C′与⊙O相切，AB为圆O的直径，且AB=4cm，
∴OD=OA=OB=(1)/(2)AB=(1)/(2)×4=2（cm），
在Rt△AOE中，∠A=30°，
∴OE=(1)/(2)OA=(1)/(2)×2=1（cm），
∴DE=OD-OE=2-1=1（cm）
则三角尺的宽为1cm；
（2）∵三角板的宽度是一样大，
∴BB′平分∠A′B′C′，C C′平分∠A′C′B′，
∵∠A′B′C′=60°，∠A′C′B′=90°，
∴∠BB′C′=30°，∠CC′B′=45°，
∴∠BB′C′+∠CC′B′=75°；
（3）设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，
则有∠AMH=30°，AH=1，得到AM=2AH=2，
∴MN=AM+AC+CN=3+2√(3)，
在Rt△MB′N中，∵∠B′MN=30°，
∴B′N=(1)/(√(3))NM=√(3)+2，则B′C′=B′N+NC′=√(3)+3．
∴B′C′=3+√(3)．