（2014•润州区二模）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：已知△ABC如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD

题目详情

（2014•润州区二模）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
已知△ABC如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成作图并证明BE=CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）

●类比探究：
如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE、BG，则线段CE、BG有什么数量关系？说明理由．
●灵活运用：
如图3，已知△ABC中，AB=2

，BC=3，∠ABC=45°，过点A作EA⊥AC，垂足为A，且满足AC=AE，求BE的长．

▼优质解答

答案和解析

（1）作图，如图所示：

∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠CAB，即∠DAC=∠EAB，
在△ACD和△AEB中，

AD＝AB

∠DAC＝∠EAB

AC＝AE

，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴BE=CD；
（2）CE=BG，理由为：
证明：∵四边形ABDE与四边形ACFG都为正方形，
∴AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠CAB，即∠EAC=∠BAG，
在△ACE和△ABG中，

AE＝AB

∠EAC＝∠BAG

AC＝AG

，
∴△ACE≌△ABG（SAS），
∴CE=BG；
（3）以AB为边向外作等腰直角三角形ABG，连接CG，

证明：在等腰Rt△ABG中，AB=AC=2

，
根据勾股定理得：BG=

AB2+AG2

8+8

=4，
∵∠CBA=∠ABC=45°，
∴∠GBC=90°，
∴△CBG为直角三角形，
根据勾股定理得：CG=