高中数导数题一道f(x)=x(3-x)^(1/2),求其极大值.题本身不难,但我想问下,我可不可以采用先平方再求导的办法解决这道题,我试了下,结果没错.但我有个疑问,本题的值域并不是恒为正,平方以后会

Question

高中数导数题一道
f(x)=x(3-x)^(1/2),求其极大值.题本身不难,但我想问下,我可不可以采用先平方再求导的办法解决这道题,我试了下,结果没错.但我有个疑问,本题的值域并不是恒为正,平方以后会不会出什么差错啊?是不是若平方后新函数导数极大值点为恰好为正数,则本函数也是这个极值点?
望高手给了最简便的解法,我在追求速度.

Answer 1

(3-x)^(1/2) ≥0,定义域 x ≤3 < 0,所以 f(x) = x(3-x)^(1/2) < 0
f(x) 虽然不恒为正,但满足保持定号,所以还是可以这样：
[f(x)]^2 = |f(x)|^2,与 |f(x)| 同时取得极大极小值,因为 |f(x)| ≥ 0
但 f(x) < 0,所以 |f(x)| 越小 f(x) 越大,应该转而求 |f(x)| 或
|f(x)|^2 也就是 [f(x)]^2 的极小值.
注：我没仔细算,但这题如果只有一个极值,那么 f(x)^2 求导等0 就是答案 （因为不管极大极小值导数都是0 （如果可导））,但如果有多个极值不注意上面讲的可能就会错.