梯形ABCD,AB//DC,直角边AD上有一点E,作EF//AB,要使EF平分梯形的面积,求AE:ED

Question

梯形ABCD,AB//DC,直角边AD上有一点E,作EF//AB,要使EF平分梯形的面积,求AE:ED

Answer 1

假设ED=1,AE：ED=K,则AE=K
AB=a,CD=b,
如果AB为下底,过B做CD垂线,交DC延长线P
CP=a-b,CP/FP=(K+1)/K=AD/AE
FP=K(a-b)/(k+1)
EF=a-FP=(a+bK)/(k+1)
S梯形EFCD=S梯形EFBA
1/2*ED(CD+EF)=1/2*AE(EF+AB)
b+(a+bK)/(k+1)=k[a+(a+bK)/(k+1)]
(a+b)k^2+2(a-b)k-(a+b)=0
k=[b-a+√(2a^2+2b^2)]/(a+b)或k=[b-a-√(2a^2+2b^2)]/(a+b)0
所以k=[b-a+√(2a^2+2b^2)]/(a+b)
与a,b大小有关