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（2013•贵阳二模）如图，在三棱柱ADF-BCE中，侧棱AB底面ADF，底面ADF是等腰直角三角形，且AD=DF=a，AB=2a，G是线段DF的中点，M是线段AB上一点．（I）若M是线段AB的中点，求证：GA∥平面FMC（II）

题目详情
（2013•贵阳二模）如图，在三棱柱ADF-BCE中，侧棱AB底面ADF，底面ADF是等腰直角三角形，且AD=DF=a，AB=2a，G是线段DF的中点，M是线段AB上一点．
（I）若M是线段AB的中点，求证：GA∥平面FMC
（II）若多面体BCDMFE的体积是多面体F-ADM的体积的3倍，AM=λMB，求λ的值．

▼优质解答
答案和解析
证明：（I）
方法一（面面平行性质法）：
取DC中点S，连接AS，GS，GA
∵G是DF的中点，GS∥FC，AS∥CM
∵GS∩AS=S，GS，AS⊂面GSA，FC，CM⊂面FMC
∴面GSA∥面FMC，
而GA⊂平面GSA，
∴GA∥平面FMC…（6分）
方法二：（线面平行的判定定理法）
取FC中点N，连接GN，MN
∵G是DF中点
∴GF∥CD且GN＝
1
2
CD
又∵AM∥CD且AM＝
1
2
CD
∴AM∥GN且AM=GN
∴AMNG是平行四边形
∴AG∥MN又
∵MN⊂平面FCM，AG⊄平面FMC
∴AG∥平面FMC…（6分）
（II）设三棱柱ADF-BCE的体积为V，多面体F-ADM与多面体DMFEBC的体积分别是V1，V2，AM=x．
由题意得，V＝(
1
2
DA•DF)•AB＝(
1
2
a•a)•2a＝a3，
V1＝VM−ADF＝
1
3
(
1
2
DA•DF)•x＝
1
6
a2x，
V2＝V−V1＝a3−
1
6
a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） GN＝
1
2
111222CD
又∵AM∥CD且AM＝
1
2
CD
∴AM∥GN且AM=GN
∴AMNG是平行四边形
∴AG∥MN又
∵MN⊂平面FCM，AG⊄平面FMC
∴AG∥平面FMC…（6分）
（II）设三棱柱ADF-BCE的体积为V，多面体F-ADM与多面体DMFEBC的体积分别是V1，V2，AM=x．
由题意得，V＝(
1
2
DA•DF)•AB＝(
1
2
a•a)•2a＝a3，
V1＝VM−ADF＝
1
3
(
1
2
DA•DF)•x＝
1
6
a2x，
V2＝V−V1＝a3−
1
6
a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） AM＝
1
2
111222CD
∴AM∥GN且AM=GN
∴AMNG是平行四边形
∴AG∥MN又
∵MN⊂平面FCM，AG⊄平面FMC
∴AG∥平面FMC…（6分）
（II）设三棱柱ADF-BCE的体积为V，多面体F-ADM与多面体DMFEBC的体积分别是V11，V22，AM=x．
由题意得，V＝(
1
2
DA•DF)•AB＝(
1
2
a•a)•2a＝a3，
V1＝VM−ADF＝
1
3
(
1
2
DA•DF)•x＝
1
6
a2x，
V2＝V−V1＝a3−
1
6
a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） V＝(
1
2
111222DA•DF)•AB＝(
1
2
111222a•a)•2a＝a3，
V1＝VM−ADF＝
1
3
(
1
2
DA•DF)•x＝
1
6
a2x，
V2＝V−V1＝a3−
1
6
a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） 3，
V1＝VM−ADF＝
1
3
(
1
2
DA•DF)•x＝
1
6
a2x，
V2＝V−V1＝a3−
1
6
a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） V1＝VM−ADF＝
1
3
(
1
2
DA•DF)•x＝
1
6
a2x，
V2＝V−V1＝a3−
1
6
a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） 1＝VM−ADF＝
1
3
(
1
2
DA•DF)•x＝
1
6
a2x，
V2＝V−V1＝a3−
1
6
a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） M−ADF＝
1
3
111333(
1
2
111222DA•DF)•x＝
1
6
111666a2x，
V2＝V−V1＝a3−
1
6
a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） 2x，
V2＝V−V1＝a3−
1
6
a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） V2＝V−V1＝a3−
1
6
a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） 2＝V−V1＝a3−
1
6
a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） 1＝a3−
1
6
a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） 3−
1
6
111666a2x．…（9分）
因为V2=3V1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） 2x．…（9分）
因为V22=3V1
1
所以a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） a3−
1
6
a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） 3−
1
6
111666a2x＝3•
1
6
a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） 2x＝3•
1
6
111666a2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） 2x，解得x＝
3
2
a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） x＝
3
2
333222a．
所以λ＝
AM
BM
＝
3
2
a
2a−
3
2
a
＝3．…（12分） λ＝
AM
BM
AMAMAMBMBMBM＝
3
2
a
2a−
3
2
a
3
2
a
3
2
a
3
2
333222a2a−
3
2
a2a−
3
2
a2a−
3
2
333222a＝3．…（12分）
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