三角形ABC,D是BC中点,E、F分别在AC、AB上,角ABE=角ACF,BE、CF交点为O,OP垂直AC,OQ垂直AB,求DP=DQ

Question

三角形ABC,D是BC中点,E、F分别在AC、AB上,角ABE=角ACF,BE、CF交点为O,OP垂直AC,OQ垂直AB,求DP=DQ

Answer 1

分别取BO,CO中点MN,联结QM,DM,PN,DN
因为D,N分别是BC,OC中点
所以DN是△BCO的中位线,DN=BO/2
在Rt△BOQ中,∠BQO=90°,M是BO中点
所以QM=BO/2
所以QM=DN
同理,EN=OC/2=DM
因为BM=QM=BO/2
所以∠QBM=∠BQM
所以∠QMO=∠QBM+∠BQM=2∠QBM
同理,∠PNO=2∠PCN
因为∠ABE=∠ACF,即∠QBM=∠PCN
所以∠QMO=∠PNO
因为DM,DN都是△BCO的中位线
所以DM‖OC,DN‖OB
所以∠OMD=∠EON=∠OND
所以∠QMO+∠OMD=∠PNO+∠OND,即∠QMD=∠PND
因为QM=DN,∠QMD=∠PND,DM=PN
所以△QMD≌△DNP
所以DP=DQ