已知各项均为正数的等比数列{An}的前n项和为Sn,A1=3,S3=39（1）,求数列{An}的通项公式?（2）若在An与An-1之间插入n个数,使得这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,求证:1/d1+1/d2+.+1/dn

Question

已知各项均为正数的等比数列{An}的前n项和为Sn,A1=3,S3=39
（1）,求数列{An}的通项公式?
（2）若在An与An-1之间插入n个数,使得这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列,求证:1/d1+1/d2+.+1/dn

Answer 1

(1)
S3=a1+a2+a3 =a1(1+q+q^2) =39
1+q+q^2=13
q^2+q-12=0
q1=3 ,q2=-4(与各项为正数矛盾,舍去)
an= a1 q^(n-1)=3* 3^(n-1)=3^n
（2）
an - a'n-1' = 3^n -3^(n-1) = 2*3^(n-1)
依题意 an - a'n-1' = （n+1）dn
所以 dn = [ 2*3^(n-1) ] /(n+1) ,1/dn = (n+1) / [ 2*3^(n-1) ]= (3/2) (n+1) / 3^n
可证明 11/d1 +1d2 +...+1/dn = (3/8) [ 5 - (5 + 2 n) / 3^n ] < 15 / 8
题目中的 5/8 是否写错了?