8,已知椭圆x2/25+y2/16=1,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,点A(1,1)为椭圆内一点,点P为椭圆上一点,求3|PA|+5|PF1|的最小值———

Question

8,已知椭圆x2/25+y2/16=1,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,点A(1,1)为椭圆内一点,
点P为椭圆上一点,求3|PA|+5|PF1|的最小值———

Answer 1

易知a＝5,b＝4,c＝3,离心率e＝3／5.过点P作椭圆左准线的垂线,垂足为B.
由椭圆的第二定义可得：|PF1|／|PB|＝e＝3／5,即|PB|＝|PF1|*5／3.
所以3|PA|＋5|PF1|＝3(|PA|＋|PF1|*5／3)|＝3(|PA|＋|PB|).
显然当A、B、P三点共线时上式的值最小,最小值即为点A到左准线距离的3倍.
椭圆左准线x＝－25／3,所以3|PA|+5|PF1|的最小值＝3（1+25／3）＝28.