△ABC中，∠C=90°，射线AD交射线BC于D，过D作DE垂直射线BA于点E，点F在射线CA上，BD=DF．（1）如图1，若AD是∠BAC的角平分线，求证：BE+AF=AC；（2）如图2，若射线AD平分△ABC的外角，且点F在射线

Question

△ABC中，∠C=90°，射线AD交射线BC于D，过D作DE垂直射线BA于点E，点F在射线CA上，BD=DF．

（1）如图1，若AD是∠BAC的角平分线，求证：BE+AF=AC；
（2）如图2，若射线AD平分△ABC的外角，且点F在射线DE上，则线段BE、AF和AC的数量关系是______；
（3）如图3，在（2）的条件下，过D作DM∥AB交AC延长线于点M，若AE=2，AF=3，DM=(6)/(5)BE，求CM的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°（CD⊥AC），DE⊥AB，
∴CD=DE，∠C=∠DEB=90°，
∵在Rt△ECD和Rt△BED中

DF＝BD

CD＝DE

，
∴Rt△ECD≌Rt△BED（HL），
∴CF=BE，
∵AC=AF+CF，
∴BE+AF=AC；
（2）BE=AF+AC，
理由是：∵AD平分∠EAC，∠ACD=90°（CD⊥AC），AE⊥DE，
∴DE=DC，
由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，AC²=AD²-DC²，
∴AE=AC，
∵CD⊥AC，AE⊥DE，
∴∠ACB=∠AEF=90°，
在△AEF和△ACB中

∠AEF＝∠ACB

AE＝AC

∠FAE＝∠CAB

，
∴△AEF≌△ACB（ASA），
∴AF=AB，
∵BE=AB+AE，AE=AC，
∴BE=AF+AC；
（3）∵AE=2，AF=3，DM=(6)/(5)BE，
∴由（2）知：AC=AE=2，AB=AF=3，(6)/(3)BE=AF+AC=2+3=5，
∴DM=6，
∵DM∥AB，
∴△DCM∽△BCA，
∴(DM)/(AB)=(CM)/(AC)，
∴(6)/(3)=(CM)/(2)，
CM=4．