在△ABC中，AB=AC，D是BC边长任意一点，点C1是C点关于直线AD的对称点，C1B与AD相交于P，试问：当点D在BC（BC中点除外）运动时，AD•AP的值有何变化？并证明你的结论．

Question

在△ABC中，AB=AC，D是BC边长任意一点，点C₁是C点关于直线AD的对称点，C₁B与AD相交于P，试问：当点D在BC（BC中点除外）运动时，AD•AP的值有何变化？并证明你的结论．

Answer 1

AD•AP的值为一定值．
证明：如图，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵点C₁是C点关于直线AD对称，
∴∠C₁=∠C=∠ABC，∠C₁AP=∠1，
∴A、C₁、B、D四点共圆，
∴∠PBC=∠C₁AP=∠1，
∴C、A、B、P四点共圆，
∴∠P=∠C=∠ABD，又∠BAP=∠DAB，
∴△ABD∽△APB，
∴(AD)/(AB)=(AB)/(AP)，
即AD•AP=AB²为一定值．