求Arctanx带皮亚诺余项的5阶迈克劳林公式解：arctanx=∫1\(1+x^2)dx=∫（1-x^2+x^4）dt+o(x^5)请教高人,画波浪线的这个思路是怎么来的?谢谢!再就是麻烦高人讲讲这个泰勒公式的用法,实在是一头雾水

Question

求Arctanx带皮亚诺余项的5阶迈克劳林公式
解：arctanx=∫1\(1+x^2) dx=∫（1-x^2+x^4）dt+o(x^5)
请教高人,画波浪线的这个思路是怎么来的?谢谢!
再就是麻烦高人讲讲这个泰勒公式的用法,实在是一头雾水啊,求起来很麻烦的呀,什么情况下用比较好呢?万分感谢!

Answer 1

因为arctanx的Taylor展开很烦,而它的导数1/(1+x^2)的Taylor展开有现成的公式,所以想到了先求导,在Taylor展开,在积分的方法.
当然在这里小小的提醒一下,这种做法只在∈[0,1)上可以用,因为1/(1+x^2)的收敛域是x∈^2[-1,1),即x∈[0,1).
Taylor公式用处很广啦,解题的话两种情况吧：
1.题目中有看起来展开式的可以考虑用.
2.常见的是求极限.例如(1-cosx)/x^2在x趋于0时的极限,就可以把cosx给Taylor展开,题目就一目了然了等于1/2