高三数学题,求帮助!曲线y=lnx上的点到直线y=ex-2（e为自然对数底数）的最短距离为?怎么解?

Question

高三数学题,求帮助!
曲线y=lnx上的点到直线y=ex-2（e为自然对数底数）的最短距离为?怎么解?

Answer 1

令f(x)＝lnx－(ex-2),则f‘(x)＝1/x－ex,令f‘(x)＝0,即1/x－ex＝0,解得x＝1/e；令f‘(x)＞0,即1/x－ex＞0,解得x∈(0,1/e)；令f‘(x)＜0,即1/x－ex＜0,解得x∈(1/e,+∞)；
∴当x∈(0,1/e),f‘(x)＞0,f(x)单调递增；x∈(1/e,+∞),f‘(x)＜0,f(x)单调递减；
∴当x＝1/e时,f(x)min＝f(1/e)＝ln(1/e)－(e(1/e)-2)＝0；
∴曲线y=lnx上的点到直线y=ex-2（e为自然对数底数）的最短距离为0.