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请看下面小明同学完成的一道证明题的思路:如图1,已知△ABC中,AB=AC,CD⊥AB,垂足是D,P是BC边上任意一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别是E、F.求证:PE+PF=CD.证明思路:如图2,过点P作PG∥A
题目详情
请看下面小明同学完成的一道证明题的思路:如图1,已知△ABC中,AB=AC,CD⊥AB,垂足是D,P是BC边上任意一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别是E、F.
求证:PE+PF=CD.
证明思路:
如图2,过点P作PG∥AB交CD于G,则四边形PGDE为矩形,PE=GD;又可证△PGC≌△CFP,则PF=CG;所以PE+PF=DG+GC=DC.若P是BC延长线上任意一点,其它条件不变,则PE、PF与CD有何关系?请你写出结论并完成证明过程.
求证:PE+PF=CD.
证明思路:
如图2,过点P作PG∥AB交CD于G,则四边形PGDE为矩形,PE=GD;又可证△PGC≌△CFP,则PF=CG;所以PE+PF=DG+GC=DC.若P是BC延长线上任意一点,其它条件不变,则PE、PF与CD有何关系?请你写出结论并完成证明过程.
▼优质解答
答案和解析
结论:PE-PF=CD.(2分)
证明:
过点C作CG⊥PE于G,
∵PE⊥AB,CD⊥AB,
∴∠CDE=∠DEG=∠EGC=90°.
∴四边形CGED为矩形.(3分)
∴CD=GE,GC∥AB.
∴∠GCP=∠B.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠FCP=∠ACB=∠B=∠GCP.
在△PFC和△PGC中,
,
∴△PFC≌△PGC(AAS).(5分)
∴PF=PG.
∴PE-PF=PE-PG=GE=CD.(6分)
证明:
过点C作CG⊥PE于G,
∵PE⊥AB,CD⊥AB,
∴∠CDE=∠DEG=∠EGC=90°.
∴四边形CGED为矩形.(3分)
∴CD=GE,GC∥AB.
∴∠GCP=∠B.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠FCP=∠ACB=∠B=∠GCP.
在△PFC和△PGC中,
|
∴△PFC≌△PGC(AAS).(5分)
∴PF=PG.
∴PE-PF=PE-PG=GE=CD.(6分)
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