联立y^2+xy=1和x^2-y^2=1,解X,Y的值?以及已知x^2-y^2=1求1/x+y/x^2的最小值。

Question

联立y^2+xy=1和x^2-y^2=1,解X,Y的值?
以及 已知x^2-y^2=1求1/x+y/x^2的最小值。

Answer 1

1、y²+xy=1 （1）
x²-y²=1 （2）
y²+xy=x²-y²,x²-xy-2y²=0
(x+y)(x-2y)=0,所以x=-y或x=2y.
x=-y不符合（2）式,故x=2y.代入（1）解得y=±√3/3
所以x=±2√3/3.
2、x²-y²=1,求1/x+y/x²的最小值.
令x=secθ,y=tanθ
1/x+y/x²=cosθ+tanθ/sec²θ
=cosθ+sinθcosθ
≥-√(cosθ+sinθcosθ)²
=-√[cos²θ(1+sinθ)²]
=-√[(1-sin²θ)(1+sinθ)²]
=-√[(1-sinθ)(1+sinθ)³]
≥-√[(1/3)*(6/4)^4]
=-3√3/4.
sinθ=1/2时,等号成立.