方程2x^2+4xy+2y^2-7x+6y-22=0经过坐标轴旋转变换后消去其xy项,求坐标轴旋转的角度是多少?

Question

方程2x^2+4xy+2y^2-7x+6y-22=0经过坐标轴旋转变换后消去其xy项,求坐标轴旋转的角度是多少?

Answer 1

设坐标轴逆时针旋转θ度,旋转后坐标为ab坐标,则由公式有：x=acosθ-bsinθ;y=asinθ+bcosθ.
代入原方程得：2(acosθ-bsinθ)^+4(acosθ-bsinθ)(asinθ+bcosθ)+2(asinθ+bcosθ)^-7(acosθ-bsinθ)+6(asinθ+bcosθ)-22=0
展开并化简得：2a^+2b^+2sin2θ(a^-b^)+4abcos2θ-7acosθ+7bsinθ+6asinθ+6bcosθ-22=0
又变换后要消去xy项,即新式中不含ab项,即是cos2θ=0,得θ=π/4,代入新式中各三角函数式,得
2a^+2b^+2(a^-b^)-7√2a/2+7√2b/2+6√2a/2+6√2b/2-22=0
4a^-√2a/2+13√2b/2-22=0,再用x、y代替a、b,正好消去了xy项,故所求角度为45度.