若a²+b²=m,x²+y²=n.求ax+by最大值用柯西不等式(ax+by)²≤（a²+b&sup2意思是用柯西不等式和均值不等式做出来不一样那个正确

Question

若a²+b²=m ,x²+y²=n .求ax+by最大值 用柯西不等式(ax+by)²≤（a²+b²
意思是用柯西不等式和均值不等式做出来不一样 那个正确

Answer 1

设所有均为正数
ax+by≤√(mn),当x/a=y/b=k时取得
令a=b=√(2n)/2,则x=y=√(2m)/2时取得
而均值不等式ax+by≤(a²+x²)/2+(b²+y²)/2=(a²+b²)/2+(x²+y²)/2=(m+n)/2
要取得等号,必须a=x.b=y,进而推出,m=n
所以此问题,只有当m=n时,均值和柯西均可,此时√(mn=(m+n)/2
当m≠n时,均值不等式的等号条件无法取得,故柯西不等式做出来正确