数项级数(n+1)/2^n的和

Question

数项级数(n+1)/2^n 的和

Answer 1

考虑幂级数∑{n=0至∞}(n+1)x^n,则其收敛半径为1,令其和函数为s(x),即s(x)=∑{n=0至∞}(n+1)x^n,因此,s(x)=∑{n=0至∞}[x^{n+1}]'=[∑{n=0至∞}x^{n+1}]'=(x/(1-x))'=(1-1/(1-x))'=1/(1-x)^2,
取x=1/2,可知∑{n=0至∞}(n+1)/2^n=s(1/2)=4
这里用到1/(1-x)的幂级数展开:1/(1-x)=∑{n=0至∞}x^n