已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又OA=2OB，OA•OC=2，过点F

Question

已知双曲线 (x2)/(a2) -(y2)/(b2) =1(a＞0，b＞0) 的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又OA=2OB，OA•OC=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：B、P、N三点共线；
（3）求△BMN面积的最小值．

Answer 1

（I）由题意得A（a，0），B（ (a2)/(c) ，0 ，又

OA

=2

OB

⇒ (a2)/(c) =(a)/(2) …①
由

x=(a2)/(c)

y=(b)/(a) x

⇒ C((a2)/(c) ，(ab)/(c) ). ∴

OA

•

OC

=2 ⇒ (a2)/(c) =2…②
联立①、②，得a=2，c=4
∴双曲线的方程为 (x2)/(4) -(y2)/(12) =1 ．

（II）由（I），得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4
由

(x2)/(4) -(y2)/(12) =1

x=ty+4

⇒（3t ² -1）y ² +24ty+36=0
∴

BP

=( x 1 -1，- y 1 )， 

BN

=( x 2 -1 ， y 2 )
∵（x ₁ -1）y ₂ -（x ₂ -1）（-y ₁ ）=x ₁ y ₂ +x ₂ y ₁ -（y ₁ +y ₂ ）=（ty ₁ +4）y ₂ +（ty ₂ +4）y ₁ =（ty ₁ +4）y ₂ +（ty ₂ +4）y ₂
-( y 1 + y 2 )=2t y 1 y 2 +3( y 1 + y 2 )=2t•(36)/(3t2 -1) +3 •(-24t)/(3t2 -1) =0
∴向量

BP

与

BN

共线，∴B、P、N三点共线．

（III）∵直线l与双曲线右支相交于M、N两点
∴x ₁ x ₂ =（ty ₂ +4）（ty ₂ +4）=t ² y ₁ y ₂ +4t（y ₁ +y ₂ ）+16
= t 2 •(36)/(3 t2 -1) +4t•(-24t)/(3t2 -1) +16＞0 ⇒ (3t2 +4)/(3t2 -1) ＜0 ⇒ t 2 ＜(1)/(3)
∴ S △BMN =(1)/(2) |BF|• | y 1 - y 2 |=(3)/(2) ((24t )2 -4•36•( 3t2 -1))/(|3 t2 -1|)
= (181+ t2)/(|3 t2 -1|) =(181+ t2)/(1-3 t2) =(633+ 3t2)/(1-3 t2)
令u=1-3t ² ，u∈（0，1]
∴ S △BMN =6

3

•(4-u)/(u) =6

3

•

(4)/(u2) -(1)/(u)

= 6

3

•

4((1)/(u) -(1)/(8) ) 2  -(1)/(16)

由u∈（0，1]⇒ (1)/(u) ∈[1，+∞)
∴ 当(1)/(u) =1 ，即t=0时，△BMN面积最小值为18．