自学到有理函数的积分,但看不懂有些步骤怎么分的?(x^2+1)/x(x-1)^2=A/x+B/(x-1)+C/(x-1)^2为什么多了个B/(x-1)?不是只有x和(x-1)^2吗?(x^2+2x-1)/(x-1)(x^2-x+1)=A/(x-1)+(Cx+D)/（x^2-x+1）A和Cx+D是怎么定的?

Question

自学到有理函数的积分,但看不懂有些步骤怎么分的?
(x^2+1) / x(x-1)^2=A/x+B/(x-1)+C/(x-1)^2
为什么多了个B/(x-1)?不是只有x和(x-1)^2吗?
(x^2+2x-1)/( x-1)(x^2-x+1)=A/(x-1) + (Cx+D)/（x^2-x+1）
A和 Cx+D是怎么定的?

Answer 1

你仔细看看有理积分前面的定理,如果分母中有某项的指数是高于一次的,例如说/(x-3)^5,那么部分分式中一定出现以下：
A/(x-3)+B/(x-3)^2+C/(x-3)^3+D/(x-3)^4+E/(x-3)^5
分子是A还是Cx+D,就看分母的次数了,保证分子的多项式比分母的多项式次数少1就行.
一般确定未知数都是用解方程的方法.不过一般都可以先简单的去掉一些,非不得已的时候,才会把右边通分,跟左边对比系数解方程组.
比如说你这题：
(x^2+2x-1)/( x-1)(x^2-x+1)=A/(x-1) + (Cx+D)/（x^2-x+1）
=A(x^2-x+1)+(Cx+D)(x-1)/ （x-1)(x^2-x+1)
所以x^2+2x-1=A(x^2-x+1)+(Cx+D)(x-1)
令x=1,就能去掉(Cx+D)(x-1),直接解出A,然后将A带回,
再令x=0,去掉C,解出D.然后再对比就行了