特殊区间上的傅里叶级数问题将f(x)={1(当0

Question

特殊区间上的傅里叶级数问题
将f(x)={1 (当0

Answer 1

如果说了f(x)周期为2A,则可以补全[-A,0]上的函数,整体成为偶函数.
再用傅立叶级数展开成余弦级数.傅立叶级数在整个定义域上都成立.
补全为偶函数后,不用求正弦级数的部分,只用求余弦级数.
a=1/A×(-A,A)∫f(x)cos(nπx/A)dx
f(x)是偶函数
=1/A×2(A,0)∫f(x)cos(nπx/A)dx
=1/A×2(0,A/2)∫cos(nπx/A)dx+2(A/2,A)∫(-1)cos(nπx/A)dx
=1/A×2A/(nπ)×[sin(nπ/2)-sin(nπ)+sin(nπ/2)]
=4/(nπ)×[sin(nπ/2)]
又sin(nπ/2)为1、0、-1、0、1、0、-1 、0……的数列
其实sin(nπ/2)=-[i^(n+1)+(-i)^(n+1)]/2,记为s
i是虚数
所以a=4/(nπ)×s
a=1/A×(-A,A)∫dx=0
所以f(x)=a/2+(n=1,∞)∑acos(nπ/A)
=4/(π)×(n=1,∞)∑s/n×cos(nπ/A)
=4/π×[cos(πx/A)-1/3×cos(3πx/A)+1/5×cos(5πx/A)-……]