图略,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点．1、求PB和平面PAD所成角的大小2、证明：AE⊥平面PCD3、求二面角A-PD-C的正弦值

Question

图略,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点．
1、求PB和平面PAD所成角的大小
2、证明：AE⊥平面PCD
3、求二面角A-PD-C的正弦值

Answer 1

1、求PB和平面PAD所成角的大小：∵PA⊥底面ABCD,∴∠PBA即是所求角,∵PA=AB,∴∠PBA＝45°,∴PB和平面PAD所成角的大小是45°.
2、证明：AE⊥平面PCD 证明：∵∠ABC=60°,AB=BC,∴⊿ABC是等边三角形,∴AC＝PA,∵E是PC的中点,∴AE⊥PC,∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD,AC⊥CD,∴CD⊥平面PAC,∴CD⊥AE,∴AE⊥平面PCD.
3、求二面角A-PD-C的正弦值：√14／4.