设一个解析函数的实部位u(x,y)=y^3-3x^2*y,试求此解析函数?希望大侠们能给出详细过程,小弟在此谢过!

Question

设一个解析函数的实部位u(x,y)=y^3-3x^2*y,试求此解析函数?希望大侠们能给出详细过程,小弟在此谢过!

Answer 1

阿尔弗斯的书里的方法：
设所求的解析函数是f,用g(z)表示[f(z*)]*,其中*表示复共轭.令C=g(0)=f(0)* 是一个待定常数.
容易证明如果f是解析的,则g也是解析的.
令U(z,w)是一个二元复函数,定义为U(z,w)=[f(z+iw)+g(z-iw)]/2,U解析.
用 z/2,z/(2i) 代入,得到：U(z/2,z/(2i)) = [ f(z) + g(0) ]/2 = [ f(z)+C ]/2,得到 f(z) = 2U(z/2,z/(2i))-C
用实数x,y 代入,并记z=x+iy得到：U(x,y)=[ f(x+iy) + g(x-iy) ]/2 = [ f(z) + f(z)* ] /2 = f的实部 = u(x,y)
就是说,U在实数集上和u相等.由解析函数的唯一性,可知U(z,w)=w^3-3z^2 w是u(x,y)的自然扩充,也就是把u中的x,y替换成z,w得到的复函数.
所以 f(z)=2U(z/2,z/(2i))-C= z^3 * i /2 相差任意虚常数.