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一个自然数a,若将其数字重新排列可得一个新的自然数b.如果a恰是b的3倍,我们称a是一个“希望数”.(1)请你举例说明:“希望数”一定存在.(2)请你证明:如果a,b都是“希望数”
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一个自然数a,若将其数字重新排列可得一个新的自然数b.如果a恰是b的3倍,我们称a是一个“希望数”.
(1)请你举例说明:“希望数”一定存在.
(2)请你证明:如果a,b都是“希望数”,则ab一定是729的倍数.
(1)请你举例说明:“希望数”一定存在.
(2)请你证明:如果a,b都是“希望数”,则ab一定是729的倍数.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵428571=3×142857,
∴428571是一个“希望数”.
(2)∵a为“希望数”,依“希望数”定义知,存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p,使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和.
∵a=3p和a为3的倍数,但a的数字和等于P的数字和,
∴由整除判别法,知p为3的倍数,
∴p=3m,(m为正整数),
∴a=3×p=3×3m=9m,
∴a被9整除.
∵a的数字和等于p的数字和,
∴由被9整除的判别法可知p能被9整除,即p=9k(k为整数),
∴p=3a=3×9k=27k
∴a是27的倍数.
∴“希望数”一定能被27整除.
∵a,b都是“希望数”,
∴a,b都是27的倍数,即a=27n1,b=27n2(n1,n2为正整数).
∴ab=(27n1)(27n2)
=(27×27)(n1×n2)
=729n1n2.
∴ab一定是729的倍数.
∴428571是一个“希望数”.
(2)∵a为“希望数”,依“希望数”定义知,存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p,使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和.
∵a=3p和a为3的倍数,但a的数字和等于P的数字和,
∴由整除判别法,知p为3的倍数,
∴p=3m,(m为正整数),
∴a=3×p=3×3m=9m,
∴a被9整除.
∵a的数字和等于p的数字和,
∴由被9整除的判别法可知p能被9整除,即p=9k(k为整数),
∴p=3a=3×9k=27k
∴a是27的倍数.
∴“希望数”一定能被27整除.
∵a,b都是“希望数”,
∴a,b都是27的倍数,即a=27n1,b=27n2(n1,n2为正整数).
∴ab=(27n1)(27n2)
=(27×27)(n1×n2)
=729n1n2.
∴ab一定是729的倍数.
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