求圆内接四边形问题,内接正三角形问题越多越好

Question

求圆内接四边形问题,内接正三角形问题 越多越好

Answer 1

圆内接正三角形的一个典型问题
△ABC是圆内接等边三角形,D为劣弧BC上一点.求证：BD＋CD＝AD
证明：
在DA上截取DE＝BD,连接BE
因为△ABC是等边三角形
所以∠BCA＝60°
因为∠BDA＝∠BCA
所以∠BDA＝60°
因为DE＝BD
所以△BDE是等边三角形
所以 BE＝BD
又因为AB＝AC,∠BAD＝∠BCD
所以△ABE≌△CBD
所以AE＝CD
所以BD＋CD＝DE＋AE＝AD
这个问题的变式题特别多,计算、探索.等等都可以以这个结论为背景进行设计.如：
22、(8分)等边△ABC中,在BC边上任意取一点P,过点P作AC的平行线,过点C作AB的平行线,两线交于点Q,求证：（1）AP＝BQ （2）在前面的条件下,点P在BC边上任意运动,延长AP交BQ于D,问AD与BD＋CD是否存在某种确定关系?若存在,请指明这个关系,并证明你的结论,若不存在,说明理由.
2）AD与BD＋CD存在确定关系：AD＝BD＋CD
理由：
由1）证明知,△ACP≌△BCD（SAS）
所以∠CAP＝∠CBQ,即∠CAD＝∠CBD
所以A、B、D、C四点共圆
.
等边三角形ABC内接于圆O,P是劣弧BC上的一点,延长BP至D,使BD=AP,连结CD.判断三角形PDC是什么三角形?并说明理由
△PDC是等边三角形
理由：
因为△ABC是等边三角形
所以AC＝BC,∠BAC＝60°
因为∠CAP＝∠CBP,AP＝BD
所以△APC≌△BCD（SAS）
所以PC＝CD
因为四边形ABPC是圆内接四边形
所以∠CPD＝∠BAC＝60°
所以△PDC是等边三角形