已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEF=12S

Question

已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．

（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S_△DEF+S_△CEF=(1)/(2)S_△ABC；
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

（1）显然△AED，△DEF，△ECF，△BDF都为等腰直角三角形，且全等，
则S_△DEF+S_△CEF=(1)/(2)S_△ABC；
（2）图2成立；图3不成立．
图2证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，
又∵∠C=90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D为AB边的中点，
由中位线定理可知：DN=(1)/(2)AC，MD=(1)/(2)BC，
∵AC=BC，
∴MD=ND，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，
∴∠MDE=∠NDF，
在△DME与△DNF中，
∵

∠DME＝∠DNF

MD＝ND

∠MDE＝∠NDF

，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S_△DME=S_△DNF，
∴S_{四边形DMCN}=S_{四边形DECF}=S_△DEF+S_△CEF，
由以上可知S_{四边形DMCN}=(1)/(2)S_△ABC，
∴S_△DEF+S_△CEF=(1)/(2)S_△ABC．
图3不成立，连接DC，
证明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE=∠DBF=135°）
∴S_△DEF=S_{五边形DBFEC}，
=S_△CFE+S_△DBC，
=S_△CFE+(S△ABC)/(2)，
∴S_△DEF-S_△CFE=(S△ABC)/(2)．
故S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC的关系是：S_△DEF-S_△CEF=(1)/(2)S_△ABC．