如图,直线l是一条公路,A,B是两个村庄,现要在公路上建一个加油站,设为P,使得两个村庄到加油站的距离之和最小,即PA+PB最小（问题）若A,B两点到直线l的距离分别为3和4,且A与B的距离为4,求PA+PB

Question

如图,直线l是一条公路,A,B是两个村庄,现要在公路上建一个加油站,设为P,
使得两个村庄到加油站的距离之和最小,即PA+PB最小（问题）若A,B两点到直线l的距离分别为3和4,且A与B的距离为4,求PA+PB的最小值

Answer 1

设加油站P在公路L上,AC垂直L于C,BD垂直L于D.
作出点A关于公路L的对称点A',连接A'B与L的交点即为点P.
作AE垂直BD于E,则AE^2=AB^2-BE^2=16-(BD-AC)^2=16-1=15.
从点A向BD的延长线作垂直,垂足为F,则DF=CA'=CA=3,BF=7.
PA+PB=PA'+PB=根号下(AF^2+BF^2)=根号下(AE^2+49)=根号下(15+49)=8.
即最小值为8.