中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1相交于A,B两点,且|AB|=2√2,又M是AB中点,直线OM（O为坐标原点）的斜率是√2/2,求椭圆方程.

Question

中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1相交于A,B两点,且 |AB|=2√2,又M是AB中点,直线OM（O为坐标原点）的斜率是√2/2,求椭圆方程.

Answer 1

M在直线x+y=1上,直线OM的斜率是√2/2
因此求得：M（2-√2,√2-1)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为M是中点,所以：x1+x2=2(2-√2)
椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1
把y=1-x代人得：
b^2x^2+a^2(1-x)^2=a^2b^2
(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-a^2b^2=0
x1+x2=2a^2/(a^2+b^2),x1x2=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
而x1+x2=2(2-√2),
所以,2a^2/(a^2+b^2)=2(2-√2)
a^2=√2b^2
所以,x1x2=(2-√2)(1-b^2)
|AB|=2√2=√2(x1-x2)^2=√2[(x1+x2)^2-4x1x2]
(2-√2)^2-(2-√2)(1-b^2)=1
b^2=3√2/2
a^2=√2b^2=3
所以,椭圆方程为：x^2/3+√2y^2/3=1