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圆C的方程为（x-2）2+y2=4，圆M的方程为（x-2-5sinθ）2+（y-5cosθ）2=1（θ∈R），过圆C上任意一点P作圆M的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则PE•PF的最小值是（）A．6B．569C．7D．659
题目详情
圆C的方程为（x-2）2+y2=4，圆M的方程为（x-2-5sinθ）2+（y-5cosθ）2=1（θ∈R），过圆C上任意一点P作圆M的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则
•
的最小值是（ ）
A．6
B．
C．7
D．
2222
•
的最小值是（ ）
A．6
B．
C．7
D．
PE PE
PF PF
C．7
D．
56 56 9 9
65 65 9 9
| PE |
| PF |
A．6
B．
| 56 |
| 9 |
C．7
D．
| 65 |
| 9 |
| PE |
| PF |
A．6
B．
| 56 |
| 9 |
C．7
D．
| 65 |
| 9 |
| PE |
| PF |
| 56 |
| 9 |
C．7
D．
| 65 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| 65 |
| 9 |
| 65 |
| 9 |
▼优质解答
答案和解析
（x-2）22+y22=4的圆心C（2，0），半径等于2，圆M （x-2-5sinθ）22+（y-5cosθ）22=1，
圆心M（2+5sinθ，5cosθ），半径等于1．∵|CM|=
=5＞2+1，故两圆相离．
∵
•
=|
|•
•cos∠EPF，要使
•
最小，需|
| 和
最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则
•
的最小值是
•
．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
=
=2
，sin∠MHE=
=
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
(5sinθ)2+(5cosθ)2 (5sinθ)2+(5cosθ)2 (5sinθ)2+(5cosθ)22+(5cosθ)22=5＞2+1，故两圆相离．
∵
•
=|
|•
•cos∠EPF，要使
•
最小，需|
| 和
最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则
•
的最小值是
•
．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
=
=2
，sin∠MHE=
=
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
PE PE PE•
PF PF PF=|
|•
•cos∠EPF，要使
•
最小，需|
| 和
最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则
•
的最小值是
•
．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
=
=2
，sin∠MHE=
=
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
|
PE PE PE|•
|PF| |PF| |PF|•cos∠EPF，要使
•
最小，需|
| 和
最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则
•
的最小值是
•
．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
=
=2
，sin∠MHE=
=
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
PE PE PE•
PF PF PF 最小，需|
| 和
最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则
•
的最小值是
•
．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
=
=2
，sin∠MHE=
=
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
|
PE PE PE| 和
|PF| |PF| |PF| 最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则
•
的最小值是
•
．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
=
=2
，sin∠MHE=
=
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
PE PE PE•
PF PF PF的最小值是
•
．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
=
=2
，sin∠MHE=
=
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
HE HE HE•
HF HF HF．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
=
=2
，sin∠MHE=
=
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
|HM|2−|ME|2 |HM|2−|ME|2 |HM|2−|ME|22−|ME|22=
=2
，sin∠MHE=
=
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
9−1 9−1 9−1=2
，sin∠MHE=
=
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
2 2 2，sin∠MHE=
=
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
|ME| |ME| |ME||MH| |MH| |MH|=
，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
1 1 13 3 3，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin22∠MHE=
，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
7 7 79 9 9，
∴
•
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
HE HE HE•
HF HF HF=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
×2
×
=
，故选 B．
2 2 2×2
×
=
，故选 B．
2 2 2×
=
，故选 B．
7 7 79 9 9=
，故选 B．
56 56 569 9 9，故选 B．
圆心M（2+5sinθ，5cosθ），半径等于1．∵|CM|=
| (5sinθ)2+(5cosθ)2 |
∵
| PE |
| PF |
| PE |
| |PF| |
| PE |
| PF |
| PE |
| |PF| |
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则
| PE |
| PF |
| HE |
| HF |
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
| |HM|2−|ME|2 |
| 9−1 |
| 2 |
| |ME| |
| |MH| |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| (5sinθ)2+(5cosθ)2 |
∵
| PE |
| PF |
| PE |
| |PF| |
| PE |
| PF |
| PE |
| |PF| |
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则
| PE |
| PF |
| HE |
| HF |
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
| |HM|2−|ME|2 |
| 9−1 |
| 2 |
| |ME| |
| |MH| |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| PE |
| PF |
| PE |
| |PF| |
| PE |
| PF |
| PE |
| |PF| |
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则
| PE |
| PF |
| HE |
| HF |
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
| |HM|2−|ME|2 |
| 9−1 |
| 2 |
| |ME| |
| |MH| |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
|| PE |
| |PF| |
| PE |
| PF |
| PE |
| |PF| |
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则
| PE |
| PF |
| HE |
| HF |
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
| |HM|2−|ME|2 |
| 9−1 |
| 2 |
| |ME| |
| |MH| |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| PE |
| PF |
| PE |
| |PF| |
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则
| PE |
| PF |
| HE |
| HF |
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
| |HM|2−|ME|2 |
| 9−1 |
| 2 |
| |ME| |
| |MH| |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
|| PE |
| |PF| |
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则
| PE |
| PF |
| HE |
| HF |
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
| |HM|2−|ME|2 |
| 9−1 |
| 2 |
| |ME| |
| |MH| |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| PE |
| PF |
| HE |
| HF |
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
| |HM|2−|ME|2 |
| 9−1 |
| 2 |
| |ME| |
| |MH| |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| HE |
| HF |
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=
| |HM|2−|ME|2 |
| 9−1 |
| 2 |
| |ME| |
| |MH| |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| |HM|2−|ME|2 |
| 9−1 |
| 2 |
| |ME| |
| |MH| |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| 9−1 |
| 2 |
| |ME| |
| |MH| |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| 2 |
| |ME| |
| |MH| |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| |ME| |
| |MH| |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin22∠MHE=
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| 7 |
| 9 |
∴
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| HE |
| HF |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| 2 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| 7 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
| 56 |
| 9 |
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