圆C的方程为（x-2）2+y2=4，圆M的方程为（x-2-5sinθ）2+（y-5cosθ）2=1（θ∈R），过圆C上任意一点P作圆M的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则PE•PF的最小值是（）A．6B．569C．7D．659

Question

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1（θ∈R），过圆C上任意一点P作圆M的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则

PE

•

PF

的最小值是（　　）

A．6
B．(56)/(9)
C．7
D．(65)/(9)²²²²

PE

•

PF

的最小值是（　　）

A．6
B．(56)/(9)
C．7
D．(65)/(9)

PE

PEPE

PF

PFPF


(56)/(9)
C．7
D．(65)/(9)(56)/(9)565699

(65)/(9)(65)/(9)656599

Answer 1

（x-2）²2+y²2=4的圆心C（2，0），半径等于2，圆M  （x-2-5sinθ）²2+（y-5cosθ）²2=1，
圆心M（2+5sinθ，5cosθ），半径等于1．∵|CM|=√((5sinθ)2+(5cosθ)2)=5＞2+1，故两圆相离．
∵

PE

•

PF

=|

PE

|•

|PF|

•cos∠EPF，要使 

PE

•

PF

 最小，需|

PE

| 和 

|PF|

 最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=√(|HM|2−|ME|2)=√(9−1)=2√(2)，sin∠MHE=(|ME|)/(|MH|)=(1)/(3)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．
√((5sinθ)2+(5cosθ)2)

(5sinθ)2+(5cosθ)2

(5sinθ)2+(5cosθ)2(5sinθ)2+(5cosθ)22+(5cosθ)22=5＞2+1，故两圆相离．
∵

PE

•

PF

=|

PE

|•

|PF|

•cos∠EPF，要使 

PE

•

PF

 最小，需|

PE

| 和 

|PF|

 最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=√(|HM|2−|ME|2)=√(9−1)=2√(2)，sin∠MHE=(|ME|)/(|MH|)=(1)/(3)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．

PE

PEPEPE•

PF

PFPFPF=|

PE

|•

|PF|

•cos∠EPF，要使 

PE

•

PF

 最小，需|

PE

| 和 

|PF|

 最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=√(|HM|2−|ME|2)=√(9−1)=2√(2)，sin∠MHE=(|ME|)/(|MH|)=(1)/(3)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．
|

PE

PEPEPE|•

|PF|

|PF||PF||PF|•cos∠EPF，要使 

PE

•

PF

 最小，需|

PE

| 和 

|PF|

 最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=√(|HM|2−|ME|2)=√(9−1)=2√(2)，sin∠MHE=(|ME|)/(|MH|)=(1)/(3)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．

PE

PEPEPE•

PF

PFPFPF 最小，需|

PE

| 和 

|PF|

 最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=√(|HM|2−|ME|2)=√(9−1)=2√(2)，sin∠MHE=(|ME|)/(|MH|)=(1)/(3)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．
|

PE

PEPEPE| 和 

|PF|

|PF||PF||PF| 最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆C 交于H、G两点，则

PE

•

PF

的最小值是

HE

•

HF

．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=√(|HM|2−|ME|2)=√(9−1)=2√(2)，sin∠MHE=(|ME|)/(|MH|)=(1)/(3)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．

PE

PEPEPE•

PF

PFPFPF的最小值是

HE

•

HF

．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=√(|HM|2−|ME|2)=√(9−1)=2√(2)，sin∠MHE=(|ME|)/(|MH|)=(1)/(3)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．

HE

HEHEHE•

HF

HFHFHF．
|H M|=|CM|-2=5-2=3，|H E|=√(|HM|2−|ME|2)=√(9−1)=2√(2)，sin∠MHE=(|ME|)/(|MH|)=(1)/(3)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．
√(|HM|2−|ME|2)

|HM|2−|ME|2

|HM|2−|ME|2|HM|2−|ME|22−|ME|22=√(9−1)=2√(2)，sin∠MHE=(|ME|)/(|MH|)=(1)/(3)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．
√(9−1)

9−1

9−19−1=2√(2)，sin∠MHE=(|ME|)/(|MH|)=(1)/(3)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．
√(2)

2

22，sin∠MHE=(|ME|)/(|MH|)=(1)/(3)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．
(|ME|)/(|MH|)|ME||ME||ME||MH||MH||MH|=(1)/(3)，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．
(1)/(3)111333，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²2∠MHE=(7)/(9)，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．
(7)/(9)777999，
∴

HE

•

HF

=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．

HE

HEHEHE•

HF

HFHFHF=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2√(2)×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．
√(2)

2

22×2√(2)×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．
√(2)

2

22×(7)/(9)=(56)/(9)，故选 B．
(7)/(9)777999=(56)/(9)，故选 B．
(56)/(9)565656999，故选 B．