已知圆C:x^2+y^2-4x-2y-8=0上的P、Q两点始终关于直线l:ax+2by-2=0(a>0,b>0)对称求1/a+2/b的最小值

Question

已知圆C:x^2+y^2-4x-2y-8=0上的P、Q两点始终关于直线l:ax+2by-2=0(a>0,b>0)对称
求1/a+2/b的最小值

Answer 1

圆C化简得：(x-2)^2+(y-1)^2=13,所以其参数方程为x=√13cosθ+2,y=√13sinθ+1
则Xp=√13cosm+2,Yp=√13sinm+1;Xq=√13cosn+2,Yq=√13sinn+1
则中点((Xp+Xq)/2,(Yp+Yq)/2),即((√13cosm+√13cosn)/2+2,(√13sinm+√13sinn)/2+1)在直线l上,即a((√13cosm+√13cosn)/2+2)+2b((√13sinm+√13sinn)/2+1)-2=0；（1）
P、Q在圆C上,且直线PQ的斜率kPQ与直线l的斜率的乘积为-1.kPQ=(√13sinn-√13sinm)/(√13cosn-√13cosm)=(sinn-sinm)/(cosn-cosm),kl=-a/2b,即得kPQ×kl=(sinn-sinm)/(cosn-cosm)×(-a/2b)=-1,（2）
结合（1）和（2）就可得结果.