已知A,B,C为三角形ABC的三个内角,在平面直角坐标系中,若点P(2√*sinc/2,sin(A-B)/2),满足|向量OP|=根号6/2.（1）求tanA*tanB的值（2）求C的最大值

Question

已知A,B,C为三角形ABC的三个内角,在平面直角坐标系中,若点P(2√*sinc/2,sin(A-B)/2),
满足|向量OP|=根号6/2.（1）求tanA*tanB的值 （2）求C的最大值

Answer 1

输入的应该是 P(√2*sinc/2,sin(A-B)/2),
1
∵|向量OP|=根号6/2
∴2sin²C/2+sin²(A-B)/2=3/2
∴1-cosC+[1-cos(A-B)]/2=3/2
3/2+cos(A+B)-cos(A-B)/2=3/2
cosAcosB-sinAsinB-1/2*cosAcosB-1/2sinAsinB=0
1/2 cosAcosB=3/2sinAsinB
sinAsinB/(cosAcosB)=1/3
∴tanA*tanB=1/3
2
tanC=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tantanB)
=-(tanA+tanB)/(1-1/3)=-3/2(tanA+tanB)/
∵tanA+tanB=1/3,∴tanA>0,tanB>0
∴tanA+tanB≥2√(tanA*tanB)=2/√3
当tanA=tanB时取等号
∴-3/2(tanA+tanB）≤-√3
即tanC≤-√3
∴C≤2π/3
即C为钝角,最大值为2π/3