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a>1b>0a+b=1求证loga(a+b)>loga+b(a+2b)
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a>1 b>0 a+b=1 求证loga (a+b)>loga+b (a+2b)
▼优质解答
答案和解析
a>1 b>0 a+b不可能=1
因为loga (a+b)-loga+b (a+2b)=lg(a+b）/lga-lg(a+2b)/lg（a+b）={[lg(a+b）]^2-[lga][lg（a+2b）]}/[lga][lg（a+b）]
因为a>1 b>0,所以lga＞0,lg（a+b）＞0,lg（a+2b）＞0,且lga不等于lg（a+2b）
因为
[lga][lg（a+2b）]＜[lga+lg（a+2b）]^2/4=[lg(a^2+2ab)]^2/4＜[lg（a+b）^2]^2/4=）=[lg(a+b）]^2
所以）{[lg(a+b）]^2-[lga][lg（a+2b）]}/[lga][lg（a+b）]＞0
所以loga (a+b)>loga+b (a+2b),证毕.
因为loga (a+b)-loga+b (a+2b)=lg(a+b）/lga-lg(a+2b)/lg（a+b）={[lg(a+b）]^2-[lga][lg（a+2b）]}/[lga][lg（a+b）]
因为a>1 b>0,所以lga＞0,lg（a+b）＞0,lg（a+2b）＞0,且lga不等于lg（a+2b）
因为
[lga][lg（a+2b）]＜[lga+lg（a+2b）]^2/4=[lg(a^2+2ab)]^2/4＜[lg（a+b）^2]^2/4=）=[lg(a+b）]^2
所以）{[lg(a+b）]^2-[lga][lg（a+2b）]}/[lga][lg（a+b）]＞0
所以loga (a+b)>loga+b (a+2b),证毕.
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