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a>1,b>0,求证loga(a+b)>loga+b(a+2b)
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a>1,b>0,求证loga(a+b)>loga+b(a+2b)
▼优质解答
答案和解析
lg(a+2b)=lga+lg(1+2b/a)
＜lga+lg[(1+b/a)的平方]
=lga+2·lg(1+b/a)
=2·lg(a+b)-lga
∴ lga·lg(a+2b)＜ lga·[2·lg(a+b)-lga]
= - (lga)的平方+2lga·lg(a+b)
= - (lga)的平方+2lga·lg(a+b) - [lg(a+b)]的平方 + [lg(a+b)]的平方
= - [lg(a+b)-lga]的平方 + [lg(a+b)]的平方
＜ [lg(a+b)]的平方
于是,lg(a+b)/lga ＜ lg(a+2b)/lg(a+b)
即：loga(a+b)＜lga+b(a+2b)
＜lga+lg[(1+b/a)的平方]
=lga+2·lg(1+b/a)
=2·lg(a+b)-lga
∴ lga·lg(a+2b)＜ lga·[2·lg(a+b)-lga]
= - (lga)的平方+2lga·lg(a+b)
= - (lga)的平方+2lga·lg(a+b) - [lg(a+b)]的平方 + [lg(a+b)]的平方
= - [lg(a+b)-lga]的平方 + [lg(a+b)]的平方
＜ [lg(a+b)]的平方
于是,lg(a+b)/lga ＜ lg(a+2b)/lg(a+b)
即：loga(a+b)＜lga+b(a+2b)
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