已知函数f（x）=sin2x-2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值时x的值．

Question

已知函数f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值时x的值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x
=1+1+cos2x-sin2x
=2+√(2)((√(2))/(2)cos2x-(√(2))/(2)sin2x)=2+√(2)(cos(π)/(4)cos2x-sin(π)/(4)sin2x)=2+√(2)cos(2x+(π)/(4))
∴f（x）的最小正周期为T=(2π)/(2)=π．
（Ⅱ）∵f（x）=2+√(2)cos（2x+(π)/(4)）
∴f(x)max=2+√(2)，此时cos(2x+(π)/(4))=1，2x+(π)/(4)=2kπ，
即x=-(π)/(8)+2kπ(k∈z).f(x)min=2-√(2)．