已知,如图：△ABC中,∠ABC=45°,高BE,CF相交于点P,延长CF到点Q使得CQ=AB,求证：（1）AC=BP,（2）AP⊥AQ

Question

已知,如图：△ABC中,∠ABC=45°,高BE,CF相交于点P,延长CF到点Q使得CQ=AB,求证：（1）AC=BP,（2）AP⊥AQ

Answer 1

证明：
∵BE,CF是高
∴∠BFC=∠CEB=90º
∵∠ABC=45º
∴⊿BCF是等腰直角三角形
∴BF=CF
∵∠BAC+∠ACF=90º
∠BAC+∠FBP=90º
∴∠FBP=∠ACF
又∵∠BFP=∠FAC=90º,BF=FC
∴⊿BFP≌⊿CFA（ASA）
∴AC=BP.（1）
AF=FP
∵∠AFP=90º
∴∠FAP=45º
∵AB=CQ,BF=CF
∴AF=QF
∵∠AFQ=90º
∴∠OAF=45º
∵∠QAP=∠QAF+∠FAP=45º+45º=90º
∴AP⊥AQ.（2）