已知直线y=x+k与双曲线y=(3-k)/x,(1)求证不论k取何值,这两个函数的图像总有两个交点;(2)实数K为何值时,(2)实数K为何值时,这两个交点之间的距离最小,并求这个最小距离.

Question

已知直线y=x+k与双曲线y=(3-k)/x,(1)求证不论k取何值,这两个函数的图像总有两个交点;(2)实数K为何值时,
(2)实数K为何值时,这两个交点之间的距离最小,并求这个最小距离.

Answer 1

(2)解析：∵直线y=x+k与双曲线y=(3-k)/x
令x+k=(3-k)/x==>x^2+kx-(3-k)=0
由韦达定理:x1+x2=-k,x1x2=k-3
|X1-x2|=√(b^2-4ac)/a=√(k^2-4k+12)
|Y1-y2|=|x1-x2|
这二个交点间距离=√2*√(k^2-4k+12)
令f(k)= k^2-4k+12=(k-2)^2+8
∴当k=2时,这二个交点间距离最小为4