1000条直线最多形成多少个交点?在平面上画1000条直线,这些直线最多能形成多少个交点?

Question

1000条直线最多形成多少个交点?
在平面上画1000条直线,这些直线最多能形成多少个交点?

Answer 1

题目中交点的个数应该是最多有几个交点,此题最好用归纳法证明.
若要使得交点个数最多,则任意两条直线均相交,且交点不重合.
据此情况,
当有2条直线的时候,交点有1个
当有3条直线的时候,第三条直线应该与前两条直线均相交,产生2个新交点,则一共有1+2=3个交点
当有4条直线的时候,第四条直线应该与前三条直线均相交,产生3个新交点,则一共有1+2+3=6个交点
设当有n条直线的时候结论成立,设Sn为直线为n条时的交点的个数,则有Sn=1+2+3+...+(n-1)=n(n-1)/2
则当有n+1条直线的时候,交点的个数应该为Sn+n=n(n-1)/2+n=n(n+1)/n=Sn+1
所以推论成立.
即n条直线相交,最多可以有n(n-1)/2个交点
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